Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Деление десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Продолжаем изучать действия с десятичными дробями, пришло время поговорить про деление десятичных дробей. Начнем с общих принципов деления десятичных дробей. Дальше рассмотрим, как проводится деление десятичных дробей столбиком на натуральные числа и десятичные дроби. После этого разберемся с делением обыкновенных дробей и смешанных чисел на десятичные дроби и наоборот. Наконец, отдельно разберем правила деления десятичных дробей на 10, 100, … и на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

В этой статье мы будем говорить лишь о делении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи обговорены в статьях деление рациональных чисел и деление действительных чисел.

Общие принципы деления десятичных дробей

Конечные десятичные дроби и периодические десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей. Следовательно, деление таких десятичных дробей по сути является делением соответствующих обыкновенных дробей. Таким образом, основной принцип деления конечных и бесконечных периодических дробей состоит в замене этих дробей обыкновенными дробями и последующем делении обыкновенных дробей.

Рассмотрим примеры деления десятичных дробей в этом свете.

Принцип деления бесконечных непериодических десятичных дробей отличается от принципа деления конечных и периодических десятичных дробей, так как непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби. Деление бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к делению конечных десятичных дробей, для чего проводится округление чисел до некоторого разряда. Причем, если одним из чисел, с которыми проводится деление, является конечная или периодическая десятичная дробь, то она тоже округляются до того же разряда, что и непериодическая десятичная дробь.

Деление натурального числа на десятичную дробь и наоборот

Суть подхода к делению натурального числа на десятичную дробь и к делению десятичной дроби на натуральное число ничем не отличается от сути деления десятичных дробей. То есть, конечные и периодические дроби заменяются обыкновенными дробями, а бесконечные непериодические дроби округляются.

Для иллюстрации рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком

Деление конечных десятичных дробей на натуральные числа удобно проводить столбиком по аналогии с делением столбиком натуральных чисел. Приведем правило деления.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком, надо:

• дописать справа в делимой десятичной дроби несколько цифр 0, (в процессе деления при необходимости можно дописать еще любое количество нулей, но эти нули могут и не понадобиться);
• выполнить деление столбиком десятичной дроби на натуральное число по всем правилам деления столбиком натуральных чисел, но когда закончится деление целой части десятичной дроби, то в частном нужно поставить запятую и продолжить деление.

Сразу скажем, что в результате деления конечной десятичной дроби на натуральное число может получиться или конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь. Действительно, после того, как закончится деление всех отличных от 0 десятичных знаков делимой дроби, может получиться либо остаток 0, и мы получим конечную десятичную дробь, либо остатки начнут периодически повторяться, и мы получим периодическую десятичную дробь.

Разберемся со всеми тонкостями деления десятичных дробей на натуральные числа столбиком при решении примеров.

Деление десятичных дробей столбиком

К делению десятичной дроби на натуральное число столбиком можно свести деление десятичной дроби на десятичную дробь. Для этого делимое и делитель нужно умножить на такое число 10, или 100, или 1 000, и т.д., чтобы делитель стал натуральным числом, после чего выполнить деление на натуральное число столбиком. Это мы можем делать в силу свойств деления и умножения, так как a:b=(a·10):(b·10), a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Иными словами, чтобы разделить конечную десятичную дробь на конечную десятичную дробь, нужно:

• в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, если при этом в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа;
• после этого провести деление столбиком десятичной дроби на натуральное число.

Рассмотрим при решении примера применение этого правила деления на десятичную дробь.

Заметим, что озвученное правило позволяет делить столбиком натуральное число на конечную десятичную дробь.

Деление десятичных дробей на 10, 100, 1 000 и т.д.

Из правила деления обыкновенных дробей следует, что разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 1/10, 1/100, 1/1 000 и т.д. Иными словами, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3, … цифр (если цифр для переноса запятой недостаточно, то нужно дописать необходимое количество нулей слева).

Например, 56,21:10=5,621, а 0,32:100 000=0,0000032.

Это правило можно применять и при делении бесконечных десятичных дробей на 10, 100, …. К примеру, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374….

Деление десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Так как 0,1=1/10, 0,01=1/100 и т.д., то из правила деления на обыкновенную дробь следует, что разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д. соответственно.

Другими словами, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, … нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифр, при этом если цифр в записи десятичной дроби недостаточно для переноса запятой, то справа нужно дописать необходимое количество нулей.

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000.

Это же правило можно применять при делении бесконечных десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. При этом следует быть очень внимательным с делением периодических дробей, чтобы не ошибиться с периодом дроби, которая получается в результате деления. К примеру, 7,5(716):0,01=757,(167), так как после переноса запятой в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, имеем запись 757,167167…. С бесконечными непериодическими десятичными дробями все проще: 394,38283…:0,001=394382,83….

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на десятичную дробь и наоборот

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на конечную или периодическую десятичную дробь, а также деление конечной или периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого десятичные дроби заменяются соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число представляется в виде неправильной дроби.

При делении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число и наоборот следует перейти к делению десятичных дробей, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.