Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей, правила, примеры, решения.
В этой статье мы рассмотрим тему «сравнение десятичных дробей». Сначала обсудим общий принцип сравнения десятичных дробей. После этого разберемся, какие десятичные дроби являются равными, а какие – неравными. Дальше научимся определять, какая десятичная дробь больше, а какая меньше. Для этого изучим правила сравнения конечных, бесконечных периодических и бесконечных непериодических дробей. Всю теорию снабдим примерами с подробными решениями. В заключение остановимся на сравнении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.
Сразу скажем, что здесь мы будем говорить лишь о сравнении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях сравнение рациональных чисел и сравнение действительных чисел.
Общий принцип сравнения десятичных дробей
В статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно мы выяснили, что каждой конечной десятичной дроби и каждой бесконечной периодической десятичной дроби соответствуют некоторые обыкновенные дроби. Таким образом, сравнение конечных и сравнение бесконечных периодических десятичных дробей можно рассматривать как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей.
Итак, общий принцип сравнения конечных и бесконечных периодических десятичных дробей таков: их сравнение по сути представляет собой сравнение обыкновенных дробей.
Исходя из этого принципа сравнения, выводятся правила сравнения десятичных дробей, позволяющие обойтись без перевода сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные дроби. Эти правила, а также примеры их применения, мы разберем в следующих пунктах.
По схожему принципу сравниваются конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами: сравниваемые числа заменяются соответствующими им обыкновенными дробями, после чего сравниваются обыкновенные дроби.
Что касается сравнения бесконечных непериодических десятичных дробей, то оно обычно сводится к сравнению конечных десятичных дробей. Для этого рассматривается такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое позволяет получить результат сравнения.
Равные и неравные десятичные дроби
Сначала введем определения равных и неравных конечных десятичных дробей.
Определение.
Две конечные десятичные дроби называются равными, если равны соответствующие им обыкновенные дроби, в противном случае эти десятичные дроби называются неравными.
На основании этого определения легко обосновать следующее утверждение: если в конце данной десятичной дроби приписать или отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь. Например, 0,3=0,30=0,300=…, а 140,000=140,00=140,0=140.
Действительно, дописывание или отбрасывание в конце десятичной дроби нуля справа соответствует умножению или делению на 10 числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби. А мы знаем основное свойство дроби, которое гласит, что умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число дает дробь, равную исходной. Этим доказано, что дописывание или отбрасывание нулей справа в дробной части десятичной дроби дает дробь, равную исходной.
Например, десятичной дроби 0,5 отвечает обыкновенная дробь 5/10, после дописывания нуля справа получается десятичная дробь 0,50, которой отвечает обыкновенная дробь 50/100, а 
. Таким образом, 0,5=0,50. Обратно, если в десятичной дроби 0,50 отбросить справа 0, то мы получим дробь 0,5, так от обыкновенной дроби 50/100 мы придем к дроби 5/10, но 
. Следовательно, 0,50=0,5.
Переходим к определению равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.
Определение.
Две бесконечные периодические дроби равны, если равны отвечающие им обыкновенные дроби; если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то сравниваемые периодические дроби тоже не равны.
Из данного определения следуют три вывода:
- Если записи периодических десятичных дробей полностью совпадают, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические десятичные дроби 0,34(2987) и 0,34(2987) равны.
- Если периоды сравниваемых десятичных периодических дробей начинаются с одинаковой позиции, первая дробь имеет период 0, вторая – период 9, и значение разряда, предшествующего периоду 0 на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические дроби 8,3(0) и 8,2(9) равны, также равны дроби 141,(0) и 140,(9).
- Две любые другие периодические дроби не являются равными. Приведем примеры неравных бесконечных периодических десятичных дробей: 9,0(4) и 7,(21), 0,(12) и 0,(121), 10,(0) и 9,8(9).
Осталось разобраться с равными и неравными бесконечными непериодическими десятичными дробями. Как известно, такие десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (такие десятичные дроби представляют иррациональные числа), поэтому сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей нельзя свести к сравнению обыкновенных дробей.
Определение.
Две бесконечные непериодические десятичные дроби равны, если их записи полностью совпадают.
Но есть один нюанс: невозможно увидеть «законченную» запись бесконечных непериодических десятичных дробей, следовательно, невозможно убедиться и в полном совпадении их записей. Как же быть?
При сравнении бесконечных непериодических десятичных дробей рассматривают лишь конечное число знаков сравниваемых дробей, которое позволяет сделать необходимые выводы. Таким образом, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сравнению конечных десятичных дробей.
При таком подходе можно говорить о равенстве бесконечных непериодических десятичных дробей лишь с точностью до рассматриваемого разряда. Приведем примеры. Бесконечные непериодические десятичные дроби 5,45839… и 5,45839… равны с точностью до стотысячных, так как равны конечные десятичные дроби 5,45839 и 5,45839; непериодические десятичные дроби 19,54… и 19,54810375… равны с точностью до сотых, так как равны дроби 19,54 и 19,54.
Неравенство бесконечных непериодических десятичных дробей при таком подходе устанавливается вполне определенно. Например, бесконечные непериодические десятичные дроби 5,6789… и 5,67732… не равны, так как очевидны различия в их записях (не равны конечные десятичные дроби 5,6789 и 5,6773). Бесконечные десятичные дроби 6,49354… и 7,53789… тоже не равны.
Правила сравнения десятичных дробей, примеры, решения
После установления факта неравенства двух десятичных дробей, часто нужно узнать, какая из этих дробей больше, а какая – меньше другой. Сейчас мы разберем правила сравнения десятичных дробей, позволяющие ответить на поставленный вопрос.
Во многих случаях бывает достаточно сравнить целые части сравниваемых десятичных дробей. Справедливо следующее правило сравнения десятичных дробей: больше та десятичная дробь, целая часть которой больше, и меньше та десятичная дробь, целая часть которой меньше.
Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Сравните десятичные дроби 9,43 и 7,983023….
Решение.
Очевидно, данные десятичные дроби не равны. Целая часть конечной десятичной дроби 9,43 равна 9, а целая часть бесконечной непериодической дроби 7,983023… равна 7. Так как 9>7 (смотрите сравнение натуральных чисел), то 9,43>7,983023.
Ответ:
9,43>7,983023.
Пример.
Какая из десятичных дробей 49,43(14) и 1 045,45029… меньше?
Решение.
Целая часть периодической дроби 49,43(14) меньше, чем целая часть бесконечной непериодической десятичной дроби 1 045,45029…, следовательно, 49,43(14)<1 045,45029….
Ответ:
49,43(14).
Если целые части сравниваемых десятичных дробей равны, то для выяснения, какая из них больше, а какая - меньше, приходится сравнивать дробные части. Сравнение дробных частей десятичных дробей проводится поразрядно - от разряда десятых к более младшим.
Для начала рассмотрим пример сравнения двух конечных десятичных дробей.
Пример.
Выполните сравнение конечных десятичных дробей 0,87 и 0,8521.
Решение.
Целые части данных десятичных дробей равны (0=0), поэтому переходим к сравнению дробных частей. Значения разряда десятых равны (8=8), а значение разряда сотых дроби 0,87 больше, чем значение разряда сотых дроби 0,8521 (7>5). Следовательно, 0,87>0,8521.
Ответ:
0,87>0,8521.
Иногда, чтобы выполнить сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством десятичных знаков, к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приходится дописывать некоторое количество нулей справа. Достаточно удобно уравнивать количество десятичных знаков до начала сравнения конечных десятичных дробей, дописав к одной из них некоторое количество нулей справа.
Пример.
Сравните конечные десятичные дроби 18,00405 и 18,0040532.
Решение.
Очевидно, данные дроби неравны, так как их записи отличаются, но при этом они имеют равные целые части (18=18).
Перед поразрядным сравнением дробных частей данных дробей уравняем количество десятичных знаков. Для этого припишем две цифры 0 в конце дроби 18,00405, при этом получим равную ей десятичную дробь 18,0040500.
Значения десятичных разрядов дробей 18,0040500 и 18,0040532 равны вплоть до стотысячных, а значение разряда миллионных дроби 18,0040500 меньше значения соответствующего разряда дроби 18,0040532 (0<3), поэтому, 18,0040500<18,0040532, следовательно, 18,00405<18,0040532.
Ответ:
18,00405<18,0040532.
При сравнении конечной десятичной дроби с бесконечной, конечная дробь заменяется равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0, после чего проводится сравнение по разрядам.
Пример.
Сравните конечную десятичную дробь 5,27 с бесконечной непериодической десятичной дробью 5,270013….
Решение.
Целые части данных десятичных дробей равны. Значения разрядов десятых и сотых данных дробей равны, и чтобы выполнить дальнейшее сравнение, конечную десятичную дробь заменяем равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0 вида 5,270000…. До пятого знака после запятой значения разрядов десятичных дробей 5,270000… и 5,270013… равны, а на пятом знаке имеем 0<1. Таким образом, 5,270000…<5,270013…, откуда следует, что 5,27<5,270013….
Ответ:
5,27<5,270013….
Сравнение бесконечных десятичных дробей также проводится поразрядно, и заканчивается после того, как только значения какого-то разряда оказываются разными.
Пример.
Сравните бесконечные десятичные дроби 6,23(18) и 6,25181815….
Решение.
Целые части данных дробей равны, также равны значения разряда десятых. А значение разряда сотых периодической дроби 6,23(18) меньше разряда сотых бесконечной непериодической десятичной дроби 6,25181815…, следовательно, 6,23(18)<6,25181815….
Ответ:
6,23(18)<6,25181815….
Пример.
Какая из бесконечных периодических десятичных дробей 3,(73) и 3,(737) больше?
Решение.
Понятно, что 3,(73)=3,73737373… и 3,(737)=3,737737737…. На четвертом знаке после запятой поразрядное сравнение заканчивается, так как там имеем 3<7. Таким образом, 3,73737373…<3,737737737…, то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73).
Ответ:
3,(737).
Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.
Получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом позволяет сравнение целой части данной дроби с данным натуральным числом. При этом периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно заменить равными им конечными десятичными дробями.
Справедливо следующее правило сравнения десятичной дроби и натурального числа: если целая часть десятичной дроби меньше данного натурального числа, то и вся дробь меньше этого натурального числа; если целая часть дроби больше или равна данному натуральному числу, то дробь больше данного натурального числа.
Рассмотрим примеры применения этого правила сравнения.
Пример.
Сравните натуральное число 7 с десятичной дробью 8,8329….
Решение.
Так как данное натуральное число меньше, чем целая часть данной десятичной дроби, то это число меньше данной десятичной дроби.
Ответ:
7<8,8329….
Пример.
Сравните натуральное число 7 и десятичную дробь 7,1.
Решение.
Целая часть десятичной дроби 7,1 равна данному натуральному числу 7, следовательно, 7<7,1.
Ответ:
7<7,1.
Пример.
Сравните натуральное число 3 и периодическую десятичную дробь 2,(9).
Решение.
Так как период данной десятичной дроби равен 9, то эту периодическую дробь нужно перед сравнением заменить равной ей конечной дробью или натуральным числом, в нашем случае дроби 2,(9) соответствует число 3. Следовательно, данное натуральное число 3 равно данной периодической десятичной дроби 2,(9).
Ответ:
3=2,(9).
Чтобы выполнить сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, нужно:
- либо представить обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, после чего выполнить сравнение десятичных дробей;
- либо представить десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (если только данная десятичная дробь не является бесконечной непериодической, такие дроби, как известно, не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби), после чего выполнить ее сравнение с данной обыкновенной дробью или смешанным числом.
Пример.
Сравните десятичную дробь 0,34 с обыкновенной дробью 1/3.
Решение.
Покажем два способа решения.
Обыкновенную дробь 1/3 можно заменить равной ей периодической десятичной дробью 0,33333… (при необходимости смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби). При этом сравнение десятичной дроби 0,34 с обыкновенной дробью 1/3 сводится к сравнению десятичных дробей 0,34 и 0,33333…. Имеем 0,34>0,33333…, следовательно, 0,34>1/3.
Можно поступить иначе, и заменить десятичную дробь 0,34 обыкновенной дробью, после чего задача сведется к сравнению обыкновенных дробей. Имеем 0,34=34/100=17/50, выполнив сравнение дробей с разными знаменателями 17/50 и 1/3, получаем 17/50>1/3, следовательно, 0,34>1/3.
Ответ:
0,34>1/3.
Пример.
Сравните бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,5693… со смешанным числом 
.
Решение.
Бесконечную непериодическую десятичную дробь мы не можем представить в виде смешанного числа, но мы можем выполнить перевод смешанного числа в неправильную дробь, которую следом можно заменить равной ей десятичной дробью. Имеем 
и
Таким образом, 
, и задача свелась к сравнению двух десятичных дробей 4,5693… и 4,375, что мы легко можем выполнить: 4,5693…>4,375, поэтому, 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.