Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, примеры, решения

Преобразование выражений, содержащих логарифмы, часто проводится с применением свойств логарифмов. В данной статье мы разберем основные принципы преобразования выражений с использованием свойств логарифмов.

Начнем с того, что напомним основные свойства логарифмов, перечислив их в виде списка. После этого перейдем к рассмотрению характерных примеров, в которых при преобразовании используются свойства логарифмов. Для начала остановимся на преобразовании числовых выражений с логарифмами, дальше займемся преобразованием выражений с переменными. Особое внимание уделим преобразованиям, которые требуют использования модуля.

Вспоминаем свойства логарифмов

Обычно для преобразования выражений, содержащих логарифмы, используется основное логарифмическое тождество a^log_ab=b, a>0, a≠1, b>0, а также следующие основные свойства логарифмов:

• log_a1=0 для любого a>0, a≠1.
• log_aa=1 при a>0, a≠1.
• log_aa^p=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число.
• log_a(x·y)=log_ax+log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0.
  его обобщение log_a(x₁·x₂·…·x_n)=log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n, a>0, a≠1, x₁>0, x₂>0, …, x_n>0.
• , где a>0, a≠1, x>0, y>0.
• log_ab^p=p·log_ab, где a>0, a≠1, b>0, p - любое действительное число.
  его следствие , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.
• , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1.
  его следствие 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.
  его следствие 2: , a>0, a≠1, b>0, p и q – действительные числа, q≠0.
  его следствие 3: , a>0, a≠1, p и q – действительные числа, q≠0.
• , где a>0, a≠1, b>0, c>0.

Перечисленные равенства при преобразовании выражений с логарифмами используются как справа налево, так и слева направо.

Стоит заметить, что запоминать следствия из свойств необязательно: при проведении преобразований можно обойтись основными свойствами логарифмов и другими фактами (например, тем, что при b≥0), из которых соответствующие следствия вытекают. «Побочный эффект» такого подхода проявляется лишь в том, что решение будет немного длиннее. К примеру, чтобы обойтись без следствия, которое выражается формулой , а отталкиваться лишь от основных свойств логарифмов, придется провести цепочку преобразований следующего вида: .

То же самое можно сказать и про последнее свойство из приведенного выше списка, которому отвечает формула , так как оно тоже следует из основных свойств логарифмов. Главное понимать, что всегда имеется возможность у степени положительного числа с логарифмом в показателе поменять местами основание степени и число под знаком логарифма. Справедливости ради, заметим, что примеры, подразумевающие осуществление преобразований подобного рода, на практике встречаются редко. Несколько примеров мы приведем ниже по тексту.

Преобразование числовых выражений с логарифмами

Свойства логарифмов вспомнили, теперь пора учиться применять их на практике для преобразования выражений. Естественно начать с преобразования числовых выражений, а не выражений с переменными, так как на них удобнее и проще познавать азы. Так мы и сделаем, причем начнем с очень простых примеров, чтобы научиться выбирать нужное свойство логарифма, но постепенно будем усложнять примеры, вплоть до момента, когда для получения конечного результата нужно будет применять несколько свойств подряд.

Выбор нужного свойства логарифмов

Свойств логарифмов не так мало, и понятно, что нужно уметь выбрать из них подходящее, которое в данном конкретном случае приведет к требуемому результату. Обычно это сделать нетрудно, сопоставив вид преобразуемого логарифма или выражения с видами левых и правых частей формул, выражающих свойства логарифмов. Если левая или правая часть одной из формул совпадает с заданным логарифмом или выражением, то, скорее всего, именно это свойство и надо применять при преобразовании. Следующие примеры это наглядно демонстрируют.

Начнем с примеров преобразования выражений с использованием определения логарифма, которому отвечает формула a^log_ab=b, a>0, a≠1, b>0.

Часто бывает полезно преобразование, при котором положительное число представляется в виде степени какого-то положительного и отличного от единицы числа с логарифмом в показателе. В его основе лежит то же определение логарифма a^log_ab=b, a>0, a≠1, b>0, но формула применяется справа налево, то есть, в виде b=a^log_ab. Например, 3=e^ln3 или 5=5^log₅5.

Переходим к применению свойств логарифмов для преобразования выражений.

Довольно часто формулу логарифма степени при проведении преобразований приходится применять справа налево в виде p·log_ab=log_ab^p (при этом требуется выполнение тех же условий для a, b и p). Например, 3·ln5=ln5³ и lg2·log₂3=log₂3^lg2.

На этом этапе мы достаточно скрупулезно рассмотрели преобразование самых простых выражений с использованием основных свойств логарифмов и определения логарифма. В этих примерах нам приходилось применять какое-то одно свойство и ничего более. Теперь со спокойной совестью можно переходить к примерам, преобразование которых требует использования нескольких свойств логарифмов и других дополнительных преобразований. Ими мы и займемся в следующем пункте. Но перед этим еще вкратце остановимся на примерах применения следствий из основных свойств логарифмов.

Последовательное применение нескольких свойств

Реальные задания на преобразование выражений с использованием свойств логарифмов обычно сложнее тех, которыми мы занимались в предыдущем пункте. В них, как правило, результат получается не в один шаг, а решение уже состоит в последовательном применении одного свойства за другим вместе с дополнительными тождественными преобразованиями, такими как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращении дробей и т.п. Так давайте подбираться ближе к таким примерам. Сложного в этом ничего нет, главное действовать аккуратно и последовательно, соблюдая порядок выполнения действий.

Для плавного перехода к информации следующего пункта давайте взглянем на выражения 5^2+log₅3, и lg0,01. Их структура не подходит ни под одно из свойств логарифмов. Так что же получается, их нельзя преобразовать с использованием свойств логарифмов? Можно, если провести предварительные преобразования, подготавливающие данные выражения к применению свойств логарифмов. Так 5^2+log₅3=5²·5^log₅3=25·3=75, и lg0,01=lg10⁻²=−2. Дальше мы подробно разберемся, как осуществляется подобная подготовка выражений.

Подготовка выражений к применению свойств логарифмов

Логарифмы в составе преобразуемого выражения очень часто по структуре записи отличаются от левых и правых частей формул, отвечающих свойствам логарифмов. Но не менее часто преобразование этих выражений подразумевает использование свойств логарифмов: для их использования лишь требуется предварительная подготовка. А заключается эта подготовка в проведении определенных тождественных преобразований, приводящих логарифмы к виду, удобному для применения свойств.

Справедливости ради, заметим, что в качестве предварительных преобразований могут выступать практически любые преобразования выражений, от банального приведения подобных слагаемых до применения тригонометрических формул. Это и понятно, так как преобразуемые выражения могут содержать какие угодно математические объекты: скобки, модули, дроби, корни, степени и т.д. Таким образом, нужно быть готовым выполнить любое требующееся преобразование, чтобы дальше получить возможность воспользоваться свойствами логарифмов.

Сразу скажем, что в этом пункте мы не ставим перед собой задачу классифицировать и разобрать все мыслимые предварительные преобразования, позволяющие в дальнейшем применить свойства логарифмов или определение логарифма. Здесь мы остановимся лишь на четырех из них, которые наиболее характерны и наиболее часто встречаются на практике.

• Первое преобразование состоит в получении степеней под знаком и в основании логарифма, позволяющее в дальнейшем применить свойство логарифма степени и его следствия. Это преобразование позволит справляться с выражениями, подобными следующим: log₃81, и т.п.
• Второй вид предварительных преобразований свяжем со свойствами степеней. Он направлен на возможность дальнейшего применения формулы, отвечающей определению логарифма. Это преобразование будем направлять на выражения, которые подобны , , 3^2·log35, 7^1+log74.
• Дальше остановимся на преобразовании логарифмов с десятичными дробями под их знаками и в их основаниях. За ними часто не видно, что основание степени под знаком логарифма равно основанию логарифма, как, например, в случае .
• Наконец, поговорим о том, как преобразовывать логарифмы, содержащие под своим знаком отрицательные числа. После изучения информации этого раздела, у Вас появится четкое понимание, что делать с выражениями lg(−3)⁻⁴, log₆((−9)·(−4)) и т.п.

А теперь подробно о каждом из них, после чего в рамках нашей темы останется лишь разобраться с преобразованием выражений с переменными под знаками логарифмов.

Выделение степеней под знаком логарифма и в его основании

Начнем сразу с примера. Пусть перед нами логарифм . Очевидно, в таком виде его структура не располагает к применению свойств логарифмов. А можно ли как-нибудь преобразовать данное выражение, чтобы упростить его, а еще лучше вычислить его значение? Для ответа на этот вопрос давайте внимательно поглядим на числа 81 и 1/9 в контексте нашего примера. Здесь несложно заметить, что эти числа допускают представление в виде степени числа 3, действительно, 81=3⁴ и 1/9=3⁻². При этом исходный логарифм представляется в виде и появляется возможность применения формулы . Итак, .

Анализ разобранного примера рождает следующую мысль: при возможности можно попробовать выделить степень под знаком логарифма и в его основании, чтобы применить свойство логарифма степени или его следствия. Остается только выяснить, как эти степени выделять. Дадим некоторые рекомендации по этому вопросу.

Иногда довольно очевидно, что число под знаком логарифма и/или в его основании представляет собой некоторую целую степень, как в рассмотренном выше примере. Практически постоянно приходится иметь дело со степенями двойки, которые хорошо примелькались: 4=2², 8=2³, 16=2⁴, 32=2⁵, 64=2⁶, 128=2⁷, 256=2⁸, 512=2⁹, 1024=2¹⁰. Это же можно сказать и про степени тройки: 9=3², 27=3³, 81=3⁴, 243=3⁵, … Вообще, не помешает, если перед глазами будет находиться таблица степеней натуральных чисел в пределах десятка. Также не составляет труда работать с целыми степенями десяти, ста, тысячи и т.д.

В более сложных случаях для выделения степеней чисел приходится прибегать к разложению чисел на простые множители.

Довольно часто выражения под знаком логарифма и в его основании представляют собой произведения или отношения корней и/или степеней некоторых чисел, например, , . Подобные выражения можно представить в виде степени. Для этого осуществляется переход от корней к степеням, и применяются свойства корней и свойства степеней. Указанные преобразования позволяют выделить степени под знаком логарифма и в его основании, после чего применить свойства логарифмов.

Понятно, что в общем случае для получения степеней под знаком логарифма и в его основании могут требоваться различные преобразования различных выражений. Приведем пару примеров.

Применение свойств степеней

В предыдущем пункте мы уже обращались к свойствам степеней для выделения степеней под знаками и в основаниях логарифмов. Здесь мы рассмотрим еще несколько характерных случаев использования свойств степеней для подготовки выражений к применению свойств логарифмов.

Начнем с примеров, в которых используется свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями a^p·a^q=a^p+q, причем обычно это равенство приходится применять справа налево.

Другой ряд характерных примеров перед применением свойств логарифмов требует предварительных преобразований, проводящихся на базе свойства степени в степени, которому отвечает формула (a^p)^q=a^p·q. Разберем, как она используется.

Допустим, перед нами выражение (e^ln2)³. Выражение в скобках по определению логарифма равно 2, следовательно, (e^ln2)³=2³=8. А как быть, если мы имеем дело с выражением e^3·ln2 или (e³)^ln2? Очень просто: на базе свойства степени в степени они приводятся к виду (e^ln2)³. Так e^3·ln2=e^ln2·3=(e^ln2)³ и (e³)^ln2=e^3·ln2=e^ln2·3=(e^ln2)³.

Закрепим полученные навыки.

Естественно встречаются примеры, в которых предварительная подготовка к использованию свойств логарифмов заключается в применении и свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями, и свойства степени в степени. Например,
4^{−0,5+2·log₄3}=4^−0,5·4^2·log₄3=
=1/2·(4^log₄3)²=1/2·3²=1/2·9=4,5.

Что «скрывают» десятичные дроби?

Порою возможность применения свойств логарифмов скрыта за десятичными дробями. К примеру, что делать с логарифмом log_0,4(2/5)³? В этом случае достаточно заметить, что 0,4 и 2/5 – это различные записи одного и того же числа в виде десятичной дроби и в виде обыкновенной дроби соответственно. Действительно, 0,4=4/10=2/5.

Таким образом, при наличии десятичных дробей под знаком логарифма и/или в его основании часто полезным оказывается предварительное преобразование, заключающееся в переходе к обыкновенным дробям, которое позволяет в дальнейшем разглядеть возможность применения свойств логарифмов.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Отрицательные числа под знаком логарифма

Продолжаем рассматривать числовые выражения с логарифмами, которые нуждаются в предварительном преобразовании перед применением свойств логарифмов. И сейчас затронем выражения, содержащие отрицательные числа под знаком логарифма или в его основании, но при этом имеющие смысл. Вот несколько примеров подобных логарифмов: log₃((−2)·(−5)), log₂(−2)⁶, .

Для преобразования выражений указанного вида нельзя применять свойства логарифмов в том виде, в котором мы их привели в первом пункте данной статьи. Так на базе свойства логарифма произведения нельзя перейти от выражения log₃((−2)·(−5)) к сумме логарифмов log₃(−2)+log₃(−5), аналогично, не стоит пытаться сразу применить свойство логарифма степени к выражению log₂(−2)⁶, как и свойство логарифма частного к выражению . А почему? Да потому, что для каждого свойства логарифмов указаны условия, которым должны удовлетворять числа под его знаком и в основании, а отрицательные числа этим условиям не удовлетворяют.

Давайте подробно поясним сказанное. Для этого еще раз вернемся к примеру log₃((−2)·(−5)). Это выражение по структуре есть log_a(x·y), где a=3, x=−2, y=−5. А формулу логарифма произведения вида log_a(x·y)=log_ax+log_ay мы можем применять, если выполнены условия a>0, a≠1, x>0, y>0. Для нашего примера, очевидно, условия для x и y не выполняются, поэтому, мы не можем записать равенство log₃((−2)·(−5))=log₃(−2)+log₃(−5). Аналогично, неверными будут и преобразования log₂(−2)⁶=6·log₂(−2) и .

Так что же получается: подобные выражения нельзя преобразовывать по свойствам логарифмов? Можно, но требуется проведение предварительных преобразований, позволяющих избавиться от отрицательных чисел под знаком и в основании логарифма. Обычно в основе этих преобразований лежат хорошо известные нам правила выполнения действий с отрицательными числами.

Опять возвращаемся к примерам. Так по правилу умножения отрицательных чисел имеем (−2)·(−5)=2·5, поэтому log₃((−2)·(−5))=log₃(2·5), и уже теперь можно применять свойство логарифма произведения: log₃(2·5)=log₃2+log₃5. В примере log₂(−2)⁶, чтобы стало возможным применение свойства логарифма степени, потребуются следующие преобразования (−2)⁶=((−1)·2)⁶=(−1)⁶·2⁶=1·2⁶=2⁶, поэтому, log₂(−2)⁶=log₂2⁶=6. А каких предварительных преобразований требует логарифм , станет понятно из решения следующего примера.

Отметим, что свойства логарифма произведения, частного и степени с четным показателем можно расширить и на отрицательные числа, прибегнув к модулям (что мы сделаем ниже, когда речь пойдет о преобразовании выражений с переменными под знаком логарифма), и применять их к рассмотренным в этом пункте выражениям. Например, расширенное свойство логарифма произведения имеет вид log_a(x·y)=log_a|x|+log_a|y|, где a>0, a≠1, x≠0, y≠0, и на его основании имеет место такое преобразование: log₃((−2)·(−5))=log₃|−2|+log₃|−5|=log₃2+log₃5.

Преобразование логарифмических выражений с переменными

Азы преобразования выражений с использованием свойств логарифмов познаются на числовых выражениях. Но дальше, например, при решении логарифмических уравнений и неравенств, возникает потребность в преобразовании выражений, которые содержат под знаком логарифма и/или в его основании не только числа, но и переменные. И естественным образом мы начинаем преобразовывать эти выражения по известным нам принципам преобразования подобных выражений, но с числами под знаками логарифма, а не с переменными. И все бы ничего, если бы не некоторые моменты, которые при этом необходимо учитывать, игнорирование которых часто приводит к ошибкам.

Так давайте рассмотрим, в чем здесь подвох, то есть, на что нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными по свойствам логарифмов, что учитывать, и как правильно действовать.

В чем здесь подвох?

Дело в том, что для применения формул, отвечающих свойствам логарифмов, числа под знаком логарифма и в его основании должны удовлетворять определенным условиям, а эти условия могут быть не выполненными для некоторых значений переменных из области допустимых значений (ОДЗ) для заданного выражения с переменными. Для пояснения сказанного, обратимся к показательному примеру.

Рассмотрим выражение log₂(x+1)⁴. Все преобразования выражений с переменными мы проводим на ОДЗ, поэтому, начнем с ее нахождения. В нашем случае ОДЗ определяется неравенством (x+1)⁴>0, решением которого служит числовое множество (−∞, −1)∪(−1, +∞), получить это решение позволяет, например, метод интервалов.

Дальше отмечаем, что заданное выражение имеет вид log_AB^p, где A=2, B=x+1 и p=4. Числовые выражения подобного вида мы преобразовывали по свойству логарифма степени log_ab^p=p·log_ab, поэтому, с заданным выражением хочется поступить аналогично, и от log₂(x+1)⁴ перейти к 4·log₂(x+1). А теперь давайте вычислим значение исходного выражения и выражения, полученного после преобразования, например, при x=−2. Имеем log₂(−2+1)⁴=log₂1=0, а 4·log₂(−2+1)=4·log₂(−1) - не имеющее смысла выражение. Это вызывает закономерный вопрос: «Что мы сделали не так»?

А причина в следующем: мы выполнили преобразование log₂(x+1)⁴=4·log₂(x+1), опираясь на формулу log_ab^p=p·log_ab, но данную формулу мы имеем право применять лишь при выполнении условий a>0, a≠1, b>0, p - любое действительное число. То есть, проделанное нами преобразование имеет место, если x+1>0, что то же самое x>−1 (для A и p – условия выполнены). Однако в нашем случае ОДЗ переменной x для исходного выражения состоит не только из промежутка x>−1, но и из промежутка x<−1. Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимость учета ОДЗ

Продолжим разбирать преобразование выбранного нами выражения log₂(x+1)⁴, и сейчас посмотрим, что происходит с ОДЗ при переходе к выражению 4·log₂(x+1). В предыдущем пункте мы нашли ОДЗ исходного выражения – это есть множество (−∞, −1)∪(−1, +∞). Теперь найдем область допустимых значений переменной x для выражения 4·log₂(x+1). Она определяется условием x+1>0, которому отвечает множество (−1, +∞). Очевидно, что при переходе от log₂(x+1)⁴ к 4·log₂(x+1) происходит сужение области допустимых значений. А мы договорились избегать преобразований, приводящих к сужению ОДЗ, так как это может приводить к различным негативным последствиям.

Здесь для себя стоит отметить, что полезно контролировать ОДЗ на каждом шаге преобразования и не допускать ее сужения. И если вдруг на каком-то этапе преобразования произошло сужение ОДЗ, то стоит очень внимательно посмотреть, а допустимо ли данное преобразование и имели ли мы право его проводить.

Справедливости ради скажем, что на практике обычно приходится работать с выражениями, у которых ОДЗ переменных такова, что позволяет при проведении преобразований использовать свойства логарифмов без ограничений в уже известном нам виде, причем как слева направо, так и справа налево. К этому быстро привыкаешь, и начинаешь проводить преобразования механически, не задумываясь, а можно ли было их проводить. И в такие моменты, как назло, проскальзывают более сложные примеры, в которых неаккуратное применение свойств логарифмов приводит к ошибкам. Так что нужно всегда быть на чеку, и следить, чтобы не происходило сужения ОДЗ.

Не помешает отдельно выделить основные преобразования на базе свойств логарифмов, которые нужно проводить очень внимательно, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и как следствие – к ошибкам:

• Переход от логарифма произведения к сумме логарифмов. Например, преобразование ln(x·(x+3))=lnx+ln(x+3) сужает ОДЗ.
• Переход от логарифма частного к разности логарифмов. К примеру, замена выражением log₂x−log₂sinx приводит к сужению ОДЗ.
• Вынесение четного показателя степени при использовании формулы логарифма степени log_ab^p=p·log_ab и формулы . Так преобразование ln(x+3)⁻⁴=−4·ln(x+3) приводит к сужению ОДЗ, как и преобразование .

Некоторые преобразования выражений по свойствам логарифмов могут приводить и к обратному - расширению ОДЗ. Например, переход от 4·log₂(x+1) к log₂(x+1)⁴ расширяет ОДЗ с множества (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞). Такие преобразования имеют место, если оставаться в рамках ОДЗ для исходного выражения. Так только что упомянутое преобразование 4·log₂(x+1)=log₂(x+1)⁴ имеет место на ОДЗ переменной x для исходного выражения 4·log₂(x+1), то есть, при x+1>0, что то же самое (−1, +∞).

Теперь, когда мы обговорили нюансы, на которые нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными с использованием свойств логарифмов, остается разобраться, как правильно нужно эти преобразования проводить.

Так как же проводить преобразования?

Как мы уже отметили, в большинстве случаев ОДЗ переменных для преобразовываемого выражения такова, что позволяет свободно использовать свойства логарифмов в уже известной нам форме.

А что делать, когда на ОДЗ не выполняются условия, сопутствующие свойствам логарифмов? Будем разбираться с этим на примерах.

Пусть от нас требуется упростить выражение lg(x+2)⁴−lg(x+2)². Преобразование этого выражения, в отличие от выражения из предыдущего примера, не допускает вольготного использования свойства логарифма степени. Почему? ОДЗ переменной x в данном случае представляет собой объединение двух промежутков x>−2 и x<−2. При x>−2 мы можем спокойно применять свойство логарифма степени и действовать как в разобранном выше примере: lg(x+2)⁴−lg(x+2)²=4·lg(x+2)−2·lg(x+2)=2·lg(x+2). Но ОДЗ содержит еще один промежуток x+2<0, для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0? В подобных случаях на помощь приходит модуль. Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2|. Тогда при x+2<0 от lg(x+2)⁴−lg(x+2)² переходим к lg(−|x+2|)⁴−lg(−|x+2|)² и дальше в силу свойств степени к lg|x+2|⁴−lg|x+2|². Полученное выражение можно преобразовывать по свойству логарифма степени, так как |x+2|>0 при любых значениях переменной. Имеем lg|x+2|⁴−lg|x+2|²=4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Теперь можно освободиться от модуля, так как он свое дело сделал. Так как мы проводим преобразование при x+2<0, то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)). Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Рассмотрим еще один пример, чтобы работа с модулями стала привычной. Пусть мы задумали от выражения перейти к сумме и разности логарифмов линейных двучленов x−1, x−2 и x−3. Сначала находим ОДЗ:

На промежутке (3, +∞) значения выражений x−1, x−2 и x−3 – положительные, поэтому мы спокойно можем применять свойства логарифма суммы и разности:

А на интервале (1, 2) значения выражения x−1 – положительные, а значения выражений x−2 и x−3 – отрицательные. Поэтому, на рассматриваемом интервале представляем x−2 и x−3 с использованием модуля как −|x−2| и −|x−3| соответственно. При этом

Теперь можно применять свойства логарифма произведения и частного, так как на рассматриваемом интервале (1, 2) значения выражений x−1, |x−2| и |x−3| - положительные.

Имеем

Полученные результаты можно объединить:

Вообще, аналогичные рассуждения позволяют на базе формул логарифма произведения, отношения и степени получить три практически полезных результата, которыми довольно удобно пользоваться:

• Логарифм произведения двух произвольных выражений X и Y вида log_a(X·Y) можно заменить суммой логарифмов log_a|X|+log_a|Y|, a>0, a≠1.
• Логарифм частного вида log_a(X:Y) можно заменить разностью логарифмов log_a|X|−log_a|Y|, a>0, a≠1, X и Y – произвольные выражения.
• От логарифма некоторого выражения B в четной степени p вида log_aB^p можно перейти к выражению p·log_a|B|, где a>0, a≠1, p – четное число и B – произвольное выражение.

Аналогичные результаты приведены, например, в указаниях к решению показательных и логарифмических уравнений в сборнике задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М. И. Сканави [1, с. 171, 172].