Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры.
В этой статье мы разберем два действия с многочленами – сложение и вычитание многочленов. Сначала мы запишем правило, которое позволяет складывать и вычитать многочлены. После этого перейдем к решению примеров.
Правило сложения и вычитания многочленов
Сразу сформулируем правило сложения и вычитания многочленов, после чего дадим необходимые пояснения.
Чтобы выполнить сложение и вычитание многочленов, нужно
- составить их сумму и разность соответственно;
- в составленном выражении раскрыть скобки, в результате чего придем к многочлену;
- полученный многочлен привести к стандартному виду.
Разберем каждый пункт записанного правила.
Что касается составления суммы и разности многочленов, то для этого нужно записать исходные многочлены в скобках и поставить между ними знак плюс или минус соответственно. Например, сумма двух многочленов x3+4·x·y+5 и 2−3·x·y запишется как (x3+4·x·y+5)+(2−3·x·y), а их разность имеет вид (x3+4·x·y+5)−(2−3·x·y).
Следующим пунктом правила сложения и вычитания многочленов является раскрытие скобок. Для этого применяется правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, и правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. В наших примерах сумма многочленов (x3+4·x·y+5)+(2−3·x·y) после раскрытия скобок примет вид x3+4·x·y+5+2−3·x·y, а их разность (x3+4·x·y+5)−(2−3·x·y) - вид x3+4·x·y+5−2+3·x·y. На этом этапе отчетливо видно, что в результате проделанных действий мы получили многочлен.
На последнем шаге полученный многочлен приводится к стандартному виду. В наших примерах имеем x3+4·x·y+5+2−3·x·y=x3+x·y+7 и x3+4·x·y+5−2+3·x·y=x3+7·x·y+3.
Итак, мы полностью разобрали все шаги приведенного выше правила. Более того, мы пришли к очень важному выводу – в результате сложения и вычитания многочленов получается многочлен.
Примеры сложения и вычитания многочленов
Теперь можно переходить к решению примеров. Рассмотрим самые характерные случаи.
Пример.
Выполните сложение и вычитание многочленов x2+5·x+1 и x2−5·x+3.
Решение.
Сначала выполним сложение. Для этого составляем сумму многочленов: (x2+5·x+1)+(x2−5·x+3). После раскрытия скобок эта сумма примет вид x2+5·x+1+x2−5·x+3. Для приведения полученного многочлена к стандартному виду нужно выполнить приведение подобных членов, что дает нам итоговый результат 2·x2+4.
Покажем, как можно оформить краткое решение, отвечающее сложению многочленов:
(x2+5·x+1)+(x2−5·x+3)=
Осталось провести вычитание многочленов:
(x2+5·x+1)−(x2−5·x+3)=
Ответ:
(x2+5·x+1)+(x2−5·x+3)=2·x2+4 и (x2+5·x+1)−(x2−5·x+3)=10·x−2.
Так как одночлены являются частными случаями многочленов, то правило сложения и вычитания многочленов из предыдущего пункта можно применять при сложении и вычитании одночленов, при сложении одночлена и многочлена, а также при вычитании одночлена из многочлена и наоборот.
Пример.
Найдите разность одночлена 15·a·b2 и многочлена b4+b3+11·a·b2−7.
Решение.
Запишем эту разность (15·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−7). После раскрытия скобок записанная разность примет вид 15·a·b2−b4−b3−11·a·b2+7, а приведение подобных членов приводит нас к многочлену стандартного вида 4·a·b2−b4−b3+7, который и является искомым результатом вычитания многочлена из одночлена.
Ответ:
(15·a·b2)−(b4+b3+11·a·b2−7)=
Заметим, что если нам нужно провести сложение и вычитание многочленов, заданных не в стандартном виде, то эти действия можно выполнять как с многочленами в исходном виде, так и после их приведения к стандартному виду. На результат это не повлияет.
Пример.
Каков результат сложения многочлена 1+3·a·2+4 и многочлена a2−2·a+2·a2+6?
Решение.
Очевидно, исходные многочлены записаны не в стандартном виде. Сложим их:
(1+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)=
А теперь давайте сначала приведем исходные многочлены к стандартному виду: 1+3·a·2+4=1+6·a+4=(1+4)+6·a=5+6·a и a2−2·a+2·a2+6=
(5+6·a)+(3·a2−2·a+6)=
Очевидно, мы получили одинаковые результаты. (В других примерах может оказаться, что члены полученных многочленов будут отличаться порядком следования).
Ответ:
(1+3·a·2+4)+(a2−2·a+2·a2+6)=
Абсолютно аналогично выполняется сложение и вычитание трех, четырех и большего количества многочленов.
Пример.
Выполните сложение многочленов 5·a·b−a·b2, 3·a·b2 и 2·a·b2−a·b+b.
Решение.
Делаем все по правилу сложения многочленов: записываем сумму, раскрываем скобки и приводим полученный многочлен к стандартному виду.
(5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)
Ответ:
(5·a·b−a·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2−a·b+b)=
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.