Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю, правило, примеры, решения.
Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю. Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.
Что называют приведением дробей к общему знаменателю?
Если обыкновенные дроби имеют равные знаменатели, то про эти дроби говорят, что они приведены к общему знаменателю. Так дроби 45/76 и 143/76 приведены к общему знаменателю 76, а дроби 1/3, 3/3, 17/3 и 1 000/3 приведены к общему знаменателю 3.
Если же знаменатели дробей не равны, то такие дроби всегда можно привести к общему знаменателю, умножив их числитель и знаменатель на определенные дополнительные множители. Например, обыкновенные дроби 2/5 и 7/4 при помощи дополнительных множителей 4 и 5 соответственно приводятся к общему знаменателю 20. Действительно, умножив числитель и знаменатель дроби 2/5 на 4, получим дробь 8/20, а, умножив числитель и знаменатель дроби 7/4 на 5, придем к дроби 35/20 (смотрите приведение дробей к новому знаменателю).
Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель, определение, примеры
Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.
Определение.
Общий знаменатель – это любое положительное общее кратное всех знаменателей данных дробей.
Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.
Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.
Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6, их знаменатели равны 4 и 6 соответственно. Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12, 24, 36, 48, … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6.
Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.
Пример.
Можно ли дроби 2/3, 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3, 6 и 12. Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел, а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (ост. 6).
Итак, 150 не делится нацело на 12, следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3, 6 и 12. Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.
Ответ:
нельзя.
Наименьший общий знаменатель, как его найти?
В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем. Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.
Определение.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.
Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.
Так как наименьшее общее кратное является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.
Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к нахождению НОК знаменателей этих дробей. Разберем решение примера.
Пример.
Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28.
Решение.
Знаменатели данных дробей равны 10 и 28. Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28. В нашем случае легко найти НОК с помощью разложения чисел на простые множители: так как 10=2·5, а 28=2·2·7, то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140.
Ответ:
140.
Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения
Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:
- Во-первых, находится наименьший общий знаменатель дробей.
- Во-вторых, для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель, для чего наименьший общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби.
- В-третьих, числитель и знаменатель каждой дроби умножается на ее дополнительный множитель.
Применим озвученное правило к решению следующего примера.
Пример.
Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18. Так как 14=2·7 и 18=2·3·3, то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126.
Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126. Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9, а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7.
Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14 и 7/18 на дополнительные множители 9 и 7 соответственно. Имеем 
и 
.
Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено. В итоге получились дроби 45/126 и 49/126.
Ответ:
и 
.
Приведение к наименьшему общему знаменателю трех и более дробей
Правило из предыдущего пункта позволяет приводить к наименьшему общему знаменателю не только две дроби, но и три дроби, и большее их количество. Рассмотрим решение примера.
Пример.
Приведите четыре обыкновенных дроби 3/2, 5/6, 3/8 и 17/18 к наименьшему общему знаменателю.
Решение.
Наименьший общий знаменатель данных дробей равен наименьшему общему кратному чисел 2, 6, 8 и 18. Для нахождения НОК(2, 6, 8, 18) воспользуемся информацией из раздела нахождение НОК трех и большего количества чисел. Получаем НОК(2, 6)=6, НОК(6, 8)=24, наконец, НОК(24, 18)=72, поэтому, НОК(2, 6, 8, 18)=72. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 72.
Теперь вычисляем дополнительные множители. Для дроби 3/2 дополнительный множитель равен 72:2=36, для дроби 5/6 он равен 72:6=12, для дроби 3/8 дополнительный множитель есть 72:8=9, а для дроби 17/18 он равен 72:18=4.
Остался последний шаг в приведении исходных дробей к наименьшему общему знаменателю: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.