Умножение чисел с разными знаками, правило, примеры.
В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками. Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.
Правило умножения чисел с разными знаками
Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками: чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить модули чисел, и перед полученным произведением поставить знак минус.
Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|), а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|).
Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами. Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b). А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.
Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел. Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.
Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.
Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.
Примеры умножения чисел с разными знаками
Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками. Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.
Пример.
Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5.
Решение.
По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4, а модуль 5 равен 5, а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20. Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20. На этом умножение завершено.
Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20.
Ответ:
(−4)·5=−20.
При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей, умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.
Пример.
Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и 
.
Решение.
Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби, от исходного произведения 
мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида 
. Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно 
. Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем 
.
Ответ:
.
Отдельно стоит сказать об умножении чисел с разными знаками, когда один или оба множителя являются иррациональными числами, записанными с помощью корней, логарифмов и т.п. В этих случаях ответ часто записывается в виде числового выражения.
Пример.
Выполните умножение sin2 на −0,7.
Решение.
Согласно правилу умножения чисел с разными знаками мы можем записать равенство sin2·(−0,7)=−(0,7·sin2). Это выражение больше не упрощается, оно записывается в ответ.
Ответ:
−(0,7·sin2).
Примеры умножения чисел, заданных числовыми выражениями, можно посмотреть в разделе умножение действительных чисел.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры.